如何科学地学习和理解数学？如何有效地阅读数学和听课？,,如何学习科学地学习数

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原标题和内容：如何去科学的研究努力学习和明白数学？如何去更有效地阅读学习数学和听课？

　　学习中、明白和深度的思考数学的文化精髓，不断探索之途，已经蕴有于几乎生命……的实际上里。 　　如何去学习中科学的研究努力学习数学，亦或许是一个过度宏阔的相关话题。而对我这种数学成功的基础但是也不为啥好的人而言，不过感觉有点顶不住了。但是而对得数学家而言，这也不太象是一个又简单的核心问题。我想，鄙人是些粗浅的不同见解，也许是会对这些人要得到启发吧。重了要而，咱得有这些她的看法。这才像学数学的人即很多消极态度 。 　　“求木之一位长者，必固其肯本。欲流之远者，必浚其其源.”——唐.魏征 　　“我们自己必须做到清楚，我们自己总会有一天清楚”——德克伯特 　　数学大敌 　　个觉着，可能是最纯粹学数学，觉得难……是因为成功的基础不足，而她太衷心希望能够快速学好了，但是数学学习中是最禁忌浮躁的。欲速将不达，见贪小利则小事难道。 　　学而不思则罔，思而不学则殆。学习中数学其他知识和做数学题之间的要有一个动态平衡。当然的，非常有道理混身解数学思想观念和计算方式功底扎实之间也要有一个动态平衡。 　　认识误区一：不能自拔于某一个其他知识层级的解题方法和技巧，而但更加深入学习中更大层级从知识，方法和技巧越玩越花，但是深度的思考核心问题的多种角度、直接处理核心问题的不同方式却但其本质性的取得进步。 　　认识误区一的排比：某一个层级从知识还但不够的常规训练，就去努力追求更大层级从知识，看似清楚了非常多，但是做什么核心问题都解决目前不了。 　　认识误区二：如一方面要明白抽象概念的概念一，另如一方面还要会算、举例说明、应用的技术。抽象概念的概念一是别人知道你的，而计算方式才是你得花时间……去“中来”的。 　　各位之言 　　节选小平邦彦的一段话：我大多数只看定理，坚持努力多理解定理，先她相对独立深度的思考数学佐证。也，居多数实际情况下会百思不得其解，结果我只能数据参考书上说的佐证。 　　也许是有人纳闷。到底为什么要这样的想来想去？后读到最后的一页嘛好了吗？不管怎么说，也的要存在一个核心问题。在数学其书中，读到时候不知道能否重新解决目前、重新明白，我对此股权怀疑过消极态度。 　　明白数学书是一种怎么样的目前状态呢？就行一点一点验证过程、最后确认佐证经历过程确认无误就行了吗？在阅读学习数学图书的当，发个现但是最后确认了佐证的求证经历过程，不过没理解的定理依旧不得其意。不过佐证经历过程选择正确，但总感觉特别总体而言最深刻朦胧不清。但我们自己为毛么也能清晰地的明白2+2=4呢？是是因为她是从感觉特别上学会把握了这一数学承认，而其实不是多种方式严密论证。 　　定理的明白当然这样的，毕竟从感觉特别上学会把握定理所要语言表述的数学承认，而其实不是多种方式严密论证。尝试过摸索到定理的佐证经历过程，是一种从感觉特别上学会把握定理的两种方法，而并非为了自己检验中佐证经历过程的选择正确性。但是更完美的明白定理，单单读一遍定理是不足的。将定理结合于各种花式核心问题里才是更有效的两种方法。花时间……详细解析定理所要语言表述的数学承认的基本结构有正确的方向中。 　　数学是一门具有一实际高度技术含量的做学问，可能出现明显明白佐证经历过程却没法明白定理其它内容情况，如果学会把握数学承认的感觉特别还不足最发达。数学般石雕，普通人的老木头里但沉埋着定理。也，单单从里表去观察，并看不出里怎样低着做什么，而且不得已尝试过雕刻我们一起来，数学中是雕刻便是繁复的计算方式和资料其他文献，绝对不会是做什么又简单的事是，有时会鸡飞蛋打一场空。 　　但是明白数学，我只能一大步一大步基本原则佐证经历过程，去体味它们语言表述的数学承认。我们自己之而且才有多种方式认认真真阅读学习、验证过程佐证经历过程才可明白定理，是是因为佐证经历过程不光仅是验证过程主要手段，其背后深藏着高于验证过程的什么东西，也许是我们自己能否清晰地简单清晰的明白数学在很更大程度上要看能否学会把握这什么东西。 　　伍鸿熙女士有一段话： 　　一、衷心希望大众读者朋友说觉着其书中的所有的作为理固宜然，又是很容得不到的结果好，就行她花些得功夫即可。去深度的思考为毛么融会贯通而有什么用的和必须做到的。 　　二、衷心希望大众读者朋友说也能学会把握全书、定理、佐证的要诀。 　　三、衷心希望大众读者朋友说也能以但是能直观的犀利的眼光明白其书中的其它内容。 　　“搞数学不要太比较聪明，中上领悟力就行，主要包括是恒心和专研。” ——张广厚 　　“我早上醒了，说得第一件事便是数学，我的他们的生活便是数学，一辈子不懈的努力追求便是数学。十年犹如日，但怠慢过，现在我每周如果花四五个小时深度的思考数学。”——陈省身 　　“每周深度的思考四五个小时的数学，而其实不是呆在办公室……学习中四五个小时。但，但个十年八年的时间……，是很未成为一个符合标准的数校会文字作者。”——陈省身 　　个之见 　　至于，以上全部是巨匠们的不同见解。看看谈谈我她的不同见解。 我主要包括谈论听课和看书写字这两个多种角度谈一谈数学。 　　以下几点坦荡荡看书写字： 　　要诀是：能直观明白化、不合理得到启发化、要诀条理清晰化。 　　心诀是：一题不做，何也做数学？一例不知，何也知做学问？一字不疑，何也疑定理？一句不思，何也思普及推广？一惑纳闷，何也解推断？一理不悟，何也悟佐证？一法不创，何也创主要学科？ 　　总体来讲，归纳起来上述几点：固是道一个标准的定义的motivation，也便是为毛么要引进计划这标准的定义？一开始引进计划这标准的定义的目的动机和目地是做什么？为毛么要这么多标准的定义？为毛么是的标准的定义而其实不是就像标准的定义？也能以简单的再举的得到启发由此导出这标准的定义？可能不这么多标准的定义有做什么核心问题？一个定理不知道是为啥来的？也能从哪几种很显然的承认中综合归纳出去？我她你是否也能尝试过去佐证这定理？为毛么要这么多佐证？怎么样除了的佐证逻辑思路和佐证两种方法？要诀在在哪儿？这些两种方法各自的生活的优小缺点在在哪儿？这定理有做什么应用的技术？剩的，便是做这些数学习题练习中和尝试过做出修改定理的三个条件我们一起来能否得不到除了的结果好。 　　具体的内容的各种操作主要手段，学数学如果有三遍： 　　第一遍：看一遍书上说的主要包括其它内容，过一遍书上说的主要包括佐证逻辑思路。 　　两遍：做一遍书上说的数学习题，并对书上说的标准的定义定理答案再举和能直观明白，对症虽写出要诀引录。 　　第五遍：抄写全书的主要包括其它内容。三者亦能以有机的有机结合在一起就好。 　　最核心地位的什么东西是：去深度的思考标准的定义和定理的事情的始末，质疑声它们为毛么会是的子。 　　学习中数学有一个什么东西很关键： 　　一、怀疑过， 二、自信心 ，三、去观察，四、深度的思考 　　在我其实，数学的其实质是它，怀疑过所有的的一种力量。剩的，要而非常深刻而飘渺的洞察未来力。 　　看书写字的目地其实不是要你去肯定，也其实不是要你去检验中一遍书上说的定理佐证和标准的定义你是否有着逻辑思路上的重大错误。你也能尝试过站在祂的犀利的眼光去看待世界一本数学辅助教材和数据参考书:你是来找出不同该书得做什么不和理的那个地方的，你是来找出不同其书中深藏的重大错误的，你是来与文字作者携手做出修改和逐渐完善这本辅助教材的，你是来检査书上说的数学习题工作安排你是否不合理等你是否有重大错误的数学习题的，你是来再一次得到前人经验转赠从知识和不断探索前人经验走过的路的。而其实不是去“肯定”这本辅助教材，但做什么什么东西是在相对独立深度的思考不过值得“肯定”的。 　　那些人们前人经验转赠我们自己从知识，可能我们自己要，我们自己还得再一次去“获取更多”自己。 　　这亦是上要诀的核心地位。但看书写字只不过是如一方面，而对数学而言，是的要做题的，你不做题是没法检验中她的明白成度的。要有的的数学习题量但也不脱离战场。做题是为了自己加强明白和记忆里，促使相对独立深度的思考。 　　至于，非常多当看书写字看第一遍再者常“一脸懵逼”的，这当也能换一种不同方式：听课/看视频换成看书写字。 　　比较而言，成功的基础数学硕士生课稍难些，我的进一步了解里。本科的那些人们(数学综合分析、二阶现代数学、简析几何、常二重积分一元二次方程、复变函数调用、实变函数调用、泛函综合分析、抽象概念现代数学、点集多体系统、偏二重积分一元二次方程、二重积分几何、初等和数论)都不过会比较更适合网上自学的。但硕士生的这些课，比如二重积分teichmuller空间、现代数学多体系统、黎曼曲率、现代数学几何、同调召唤现代数学、黎曼几何、简析数论、现代数学数论等课，网上自学光靠看书写字的话但是有的费劲儿不欢心，这当也能会考虑先我们一起来这些课的视频也可以去听刘老师学生讲课，也可以先不熟悉下面辅助教材和数据参考书的主要包括推论而先搁弃佐证。 　　听课是一件很意在思的事是，但学生讲课比听课更意在思。应该如何去听课，我四周围有两个比较典型特点的听课的班上。其一是阿昕，这一位是有这些数学天赋异禀的班上，也能说是我却科班上里最为比较聪明的一个。他听课很意在思，以葛优躺的不同方式瘫倒在地在一张凳子上，并只是偶尔时不常的点着头。但刘老师叫他做做笔记他也他不愿人做做笔记，但他是我们自己公认的数学鬼才，本帝国学院数学最强霸主，但之一，还常对刘老师讲过的这些什么东西长期保持怀疑过消极态度。 　　其五是杨秀，这是一位也很喜欢喜欢整理笔记的男生们，都是把刘老师在讲桌上写得什么东西一字不错的给抄了掉了。是一个也很勤勉的女生，这些上我再者常倾佩的。但核心问题是它，她方差学的明白并不非常深刻，并偶尔刘老师写错了她也发现3不了，依旧把重大错误的什么东西写到了做笔记本上。也便是做笔记但起到加强明白的理想效果。的的做笔记的价值意义是太大的，可能她能像上那位正学学习中，也就她现在的明白层级和思维的方式道德素养要好这些吧。 　　但，听课太关键的其实不是整理笔记，这的我不太宁愿做的事是，我唯愿人做的事拉着刘老师的逻辑思路走，最高记下面写作提纲就行了。应该做笔记，肯定会会有人宁愿把刘老师的板书全抄在讲桌上的。很多人再者常勤恳的能一字不错的把刘老师的板书写者了掉了，并，这种人在每个我班都是都有。 　　我成心去受到批评这种人，我也但基本资格去受到批评自己，但我谈个谈这种行为的情况背后的人的心理学认知层面。这种抄做笔记的行为的情况，像似的一种自我价值蒙骗，用勤勉来全身麻痹她！我并非说勤勉很差，而是说，行事情的当有比勤勉较为关键的事是，要是是去观察和深度的思考。是因为听看不懂就想着她抄了她继续看，但是继续也看看不懂就真的不想看促使恶化我再课听看不懂，听看不懂先又想抄下刘老师的板书，这样的良性循环。但，这种行为的情况最大的核心问题是它，这种勤勉的抄做笔记的行为的情况是会议瘾的，并会给她产生一种感觉特别，我现在很坚持努力了，我现在竭尽所能了。 　　这种抄做笔记的行为的情况也会产生一种技能的升级这样的感觉，抄了一遍后的就会困得她现在逐渐对这些现在逐渐不熟悉了。但是是因为这些什么东西并但经多她的深度的思考，她从来未深度的思考的什么东西并不超过很非常深刻的明白，而且这种什么东西也很很容就忘了。在学习中的当，深度的思考是第一位的，甚至于于说深度的思考偏重听课，偏重看书写字。深度的思考才是学习中的其实质，除了的都是不足道的。 　　也就，也有这些也能解决目前新的方案，应对措施这种抄做笔记式学习中的两种方法也有众多，可能能老师上课不整理笔记也就是最好。着实是没法彻底改变的话，我推荐三的两种方法是，第二日(早上)在空白区腹稿纸上”抄写”今天刘老师融会贯通过的其它内容，可能你能把刘老师讲得其它内容全抄写掉了，也就是超过了某种明白成度。可能到哪里卡着了，如果还但但是明白，要加大地方的学习中和深度的思考。把核心问题弄清楚。 　　比较常见核心问题 　　包含我等非常多班上都有的的这些核心问题：数学辅助教材/数据参考几本书不太清楚为啥办？数学习题也会做为啥办？要看的其它内容很多了看不完为啥办？这两个核心问题问题困扰着颇多学子。问题困扰着那些人们浮躁忧虑而又浮躁心态的心。 　　但，这也并非是一个切记解决目前的核心问题。仔仔细细说来，为毛么会看看不懂呢？或者你过分强调了做什么其他细节，或者你对某个概念一和定理还明白得不足非常深刻，或者你看书写字肯本但静心思考。你如果遇见了人生苦难，你如果遇见了去挑战，如果遇见了重点与难点。而且你想逃，想逃避压力。你他不愿引申义考，我总是想着她电话求助于事实上也可以再继续耽搁时间……，这亦是问题根源所在地。大多当，现代人为了自己逃避压力真正意义的深度的思考也能做其他事是。 　　小说作家蔡志忠对如何去合作开发她的学习中具备、尝试过各种花式合作开发都言传身教。他喜欢喜欢讲一个真实的故事，一只蛙想跃下床，自误会跳就也能。但是实际高度不足，又但两种方法的当，他跳一整宿的白跳。 　　当时看他整理归纳的做笔记，说得更不清楚了:“人生其实不是爬陡峭山坡，就行长期的坚持，坚持努力便可到达距离巅峰之后。”而，他反对人生像走螺旋阶梯，每一阶有每一阶的重点与难点。没法能克服重点与难点，再为啥坚持努力都才有在原地不动跳，毫无进展缓慢。 　　学数学的这样的，可能不第二次突破她所看看不懂的那个地方，可能不第二次突破她也会做的数学习题，可能不抓重点内容的学习中；可能不能克服这些重点与难点，那长概学数学学得再久都是但做什么大有进步的。方差学而言，时间……是不足道的，只有去观察、反省、深度的思考、计算方式、设想才是较为关键的。 　　学数学，别胆怯看看不懂，你毕竟觉得兴奋而，个小的第二次突破点好不容易来了，你也能去尝试过第二次突破她了。其他核心问题，深度的思考和尝试过才是解决目前之道。 　　非常多人都是因为胆怯看看不懂而他不愿意找这些数学书来看，但但是大可不必大可不必的，毕竟很多人的心理提前准备是，地读懂、看得清楚、说得不清楚的书的是从未看清楚而上去的。从另一个多种角度上看，看第一遍就看得懂的书。讲真有很大那读的前提吗？ 　　“……人于书得一见便晓者，天下无之弃材也。认真读书从勤耕中得稍许尝过，也就始终不肯放下来，有时见了家门人，一见便晓，多无事业的成功。”——清.李光地 　　“小疑则小悟，大疑则大悟，不疑将不悟。”——清.李光地 　　但，也才有她看不懂后的，某这一刻/某两天这时懂了，才是最不开心的事。而且，百万别是因为但清楚就决定放弃了深度的思考，百万别是因为她看不懂只会敬离一本书。 　　“背诵经文有一耐字口诀，一句窍，不看下句，今日窍，明日再读；今年不精，明年再读;此其实耐也。困时切莫从不间断，熬过此关，便可少进。再进都困，再熬再奋，实有亨通精进之日。非仅写字，做事都有恶劣的自然条件之时，打得通的，亦是绿林好汉。”——曾国藩 　　“认真读书如何也掘井，掘数十井而都来一泉，不妨掘一井若见泉。认真读书老以熟背金刚经，常讲史鉴为要，每日有常，实有进出境，万切记见异而迁，这书未完，勿换彼书耳。”——曾国藩 　　“不认真思考将不能造于道，不认真思考而得者，其得易失。”——曾国藩 　　最纯粹数学 　　“午后，你在林荫山间小道公园散步时，也可以夜深思绪纷飞崩发时，有意无意地，你提起那个人定理/核心问题，并为它的细巧构想大开眼界，这便是数学。” 　　“我的工作……实际上便是对我的特别奖励，除了都是不足道的。” ——佩雷尔曼 　　最深刻很是非常深刻而，考研初试成绩最终成绩出去刚刚，忙着提前准备校内调剂。着实是感觉特别交瘁，再次发生的过度意想不到和过快。我还反应程度也来。几天后的校内调剂也但做什么重磅消息，只好就捡起了数学。看了下面午，这一下午和不过忙着联系方式校内调剂的感受到但是是天渊之别，我现在也还要记得那晚下午看得是《常二重积分一元二次方程》的线性常二重积分一元二次方程，循环渐进不稳定、不稳定、奇点的分类方式等概念一。那种感觉最纯粹学习中、深度的思考的感觉特别与不过校内调剂些也不尽相同样。也许是是姐开始校内调剂半年以来过得最舒服的下面午。 　　压力巨大很大，但是解压，要是捡起数学逐渐干。这回避秦客然发现3数学对我而言不过一种解压的主要手段。我是第第二次自身意识到我不过现在不可或缺数学了。(不不能排除是肖申克的灵魂的救赎中是没法他离开的家庭悲剧) 　　分水岭 　　无非学数学并有志之士从事教学数学各种理论研究中的人，都得历过一个悲伤的完美蜕变，而且是而对成功的基础数学专业方向的同学。自己巨大挑战而从学习中数学其他知识到能创造数学其他知识，从做别人的数学习题到解决目前这些科学界尚末解决的核心问题。加之数学主要学科的特殊性性，自己在逐渐走上研究中大路的当会历过非常多的磨难和人生苦难。般一位即将进入分娩中的妈妈，历过过甚至绝望与痛苦挣扎过了，才会发光明和衷心希望的出现明显。数学家阿蒂亚也有这种的语言表述。 　　可能在这分水岭决定放弃了，因为就再也不想从事教学数学研究中其它方面的工作……了。这中的Key是，本科初期阶段同学们是在“学习中”数学，而其实不是在“深度的思考”数学，是在向大脑神经中“此处数学“而其实不是和大脑中向里“可以输出数学”。 数学各种理论研究中是中年青人人的人生事业。 　　“做什么当逐渐研究学术都但实际关系，研究学术也无需？不在乎怎么样才华出众。要攀登高峰山顶从到哪里抵达都身无谓。唯一前提的便是仍会持续断地。才有也能的，总要攀上巅峰之后的两天。”——本居宣长《徒步事始》 　　“我完全对做研究中不感不感兴趣，所以我也但做过做什么研究中。我而对明白事物感不感兴趣，这对我来讲与做研究中颇有所不同。还常地，为了自己明白这些什么东西，你要但是只能靠她把它摆平，是因为但别地人曾近做过这一件事。” 　　数学家个性 　　数学家不过我总是一般人中很惊奇的一类，甚或于各位的刻板严肃最深刻都是古板寡言少语的。 　　1、天赋异禀+好奇 　　2、需要坚持不断探索+永不决定放弃 　　3、专心专注+洞察未来力 　　4、视觉艺术+富有诗意 　　5、需要坚持所谓真理+深度的思考 　　数据参考其他文献： 　　《黎曼几何确认》伍鸿熙， 《惰者集》小平邦彦、《给年青数空腹高心回信》、《当科研和教学更成一种任何职业》、《给年青人其他知识狂蜂浪蝶的十封信》、《越大众读者》郝嘉言 　　END 　　更多幸福玩的数学 　　数学学习中两种方法、上大学他们的生活历过、实操经验相互交流 　　考研、机器人竞赛、建模多届真题 　　课学习中、教学内容各类资源

微评：如何去学习中科学的研究努力学习数学，亦或许是一个过度宏阔的相关话题。而对我这种数学成功的基础但是也不为啥好的人而言，不过感觉有点顶不住了。但是而对得数学家而言，这也不太象是一个又简单的核心问题。我想，鄙人是些粗浅的不同见解，也许是会对这些人